染雾求数列通项的方法总结 篇一
数列是数学中常见的概念，它由一系列有序的数按照一定规律排列而成。在数列中，我们常常需要求解它的通项公式，即能够用一个公式表示数列中任意一项的值。在本篇文章中，我将总结几种常见的方法来求解数列的通项公式。
方法一：递推法
递推法是求解数列通项的常用方法之一。通过观察数列中相邻项之间的关系，我们可以得到一个递推关系式，即后一项与前一项之间的关系。例如，对于等差数列，我们可以发现每一项与前一项之间的差值是相等的，因此递推关系式可以表示为a(n) = a(n-1) + d，其中a(n)表示第n项，a(n-1)表示第n-1项，d表示公差。通过递推关系式，我们可以从已知的首项和公差出发，逐步推导出数列的通项公式。
方法二：数学归纳法
数学归纳法是数学中一种常用的证明方法，它也可以应用于求解数列的通项公式。数学归纳法的基本思想是通过证明当n=k时命题成立，并证明当n=k+1时命题也成立，从而推导出当n为任意正整数时命题成立的结论。在数列中，我们可以通过数学归纳法来证明通项公式的正确性。首先，我们证明当n=1时通项公式成立，然后假设当n=k时通项公式成立，通过递推关系式证明当n=k+1时通项公式也成立。通过数学归纳法，我们可以得到数列的通项公式。
方法三：解方程法
有些数列的通项公式可以通过解方程来求解。例如，对于斐波那契数列，可以通过解二次方程来求解其通项公式。斐波那契数列的递推关系式为F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(n)表示第n项，F(n-1)表示第n-1项，F(n-2)表示第n-2项。通过解二次方程x^2 - x - 1 = 0，我们可以得到斐波那契数列的通项公式。
方法四：生成函数法
生成函数是数学中一种重要的工具，它可以将一个数列转化为一个函数。通过对生成函数进行运算和变换，我们可以得到数列的通项公式。生成函数的具体求解方法比较复杂，需要借助一些高级数学工具，例如复数、积分等。但是生成函数法可以解决一些复杂的数列问题，对于研究数列的性质和规律有着重要的作用。
综上所述，求解数列通项的方法有很多种，其中递推法、数学归纳法、解方程法和生成函数法是常见且有效的方法。不同的数列可能适合不同的方法，需要根据具体情况选择合适的方法来求解。通过掌握这些方法，我们可以更好地理解和应用数列的知识，在数学研究和实际问题中发挥重要作用。
求数列通项的方法总结 篇二
数列是数学中常见的概念，它由一系列有序的数按照一定规律排列而成。在数列中，我们常常需要求解它的通项公式，即能够用一个公式表示数列中任意一项的值。在本篇文章中，我将继续总结几种常见的方法来求解数列的通项公式。
方法五：差分法
差分法是一种通过对数列进行差分操作来求解通项公式的方法。差分操作即求相邻项之间的差值，然后再继续对差值进行差分，直到得到一个常数数列。通过观察差分后的数列，我们可以得到数列的递推关系式，从而求解通项公式。差分法常用于求解一些具有递推关系的数列，例如等差数列、等比数列等。
方法六：数列拟合法
数列拟合法是一种通过对已知数列进行函数拟合来求解通项公式的方法。通过观察已知数列的项与索引之间的关系，我们可以猜测数列的通项可能是一个函数表达式。然后，通过最小二乘法等数值拟合方法，将已知数列拟合为一个函数，从而求解通项公式。数列拟合法常用于一些较为复杂的数列，例如斐波那契数列、卡特兰数列等。
方法七：递推关系求解法
递推关系求解法是一种通过解递推关系式来求解通项公式的方法。对于一些具有递推关系的数列，我们可以通过解关系式得到数列的通项公式。解递推关系式的方法有很多种，例如特征根法、常系数法等。通过递推关系求解法，我们可以得到数列的通项公式。
方法八：数列性质分析法
数列性质分析法是一种通过分析数列的性质和规律来求解通项公式的方法。对于一些特殊的数列，我们可以通过分析数列的性质，例如对称性、周期性等，来求解通项公式。数列性质分析法常用于一些较为特殊的数列，例如完全平方数列、素数列等。
综上所述，求解数列通项的方法有很多种，其中差分法、数列拟合法、递推关系求解法和数列性质分析法是常见且有效的方法。不同的数列可能适合不同的方法，需要根据具体情况选择合适的方法来求解。通过掌握这些方法，我们可以更好地理解和应用数列的知识，在数学研究和实际问题中发挥重要作用。
求数列通项的方法总结 篇三
求数列通项的方法总结
求数列的通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法灵活是灵活多变的，分享了求数列通项的方法，一起来看看吧！
一、累加法：利用an=a1+（a2-a1）+…（an-an-1）求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如an+1=an+f（n）的递推数列通项公式的基本方法（f（n）可求前n项和）.
例1.已知数列an满足an+1=an+2n+1，a1=1，求数列an的通项公式。
解：由an+1=an+2n+1得an+1-an=2n+1则
an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+ （a2-a1）+a1
=[2（n-1）+1]+[2（n-2）+1]+…+（2×2+1）+（2×1+1）+1
=2[（n-1）+（n-2）+…+2+1]+（n-1）+1
=2+（n-1）+1
=（n-1）（n+1）+1
=n2
所以数列an的通项公式为an=n2。
例2：在数列{an}中，已知an+1= ，求该数列的通项公式.
备注：取倒数之后变成逐差法。
解：两边取倒数递推式化为：=+，即-=所以-=，-=，-=…-=.…，
将以上n-1个式子相加，得：-=++…+即=+++…+==1-故an==
二、累乘法：利用恒等式an=a1…（an≠0，n？叟n）求通项公式的方法称为累乘法，累乘法是求型如：an+1=g（n）an的递推数列通项公式的基本方法（数列g（n）可求前n项积）.
例3.已知数列{an}中a1=，an=an-1（n？叟2）求数列{an}的'通项公式。
解：当n？叟2时，=，=，=，…=将这n-1个式子累乘，得到=，从而an=×=，当n=1时，==a1，所以an= 。
注：在运用累乘法时，还是要特别注意项数，计算时项数容易出错.
三、公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有an=Sn-Sn-1（n？叟2），等差数列或等比数列的通项公式。
例4.已知Sn为数列an的前n项和，且Sn=2n+1，求数列an的通项公式.
解：当n=1时，a1=S1=2+1=3，当n？叟2时，an=Sn-Sn-1=（2n+1）-（2n-1+1）=2n-1.
而n=1时，21-1=1≠a1，∴an3（n=1）2n-1（n？叟2）。
四、构造新数列（待定系数法）： ①将递推公式an+1=qan+d（q，d为常数，q≠0，d≠0）通过（an+1+x）=q（an+x）与原递推公式恒等变成an+1+=q（an+）的方法叫构造新数列.
例5.在数列an中，a1=1，当n？叟2时，有an=3an-1+2，求an的通项公式。
解：设an+m=3（an-1
类似题型练习：已知数列an满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）求数列an的通项公式.
注：此种类型an+1=pan+g（n）（p为常数，且p≠0，p≠1）与上式的区别，其解法如下：将等式两边同除以pn+1，则=+，令bn=，则bn+1=bn=，这样此种数列求通项的问题可以转化为逐差法的问题，当然这种数列的通项公式也常用待定系数法解决，关键要根据g（n）选择适当的形式。
如：an的首项a1=1，且an+1=4an+2n，求an
五、数学归纳法（用不完全归纳法猜想，用数学归纳法证明）
例6.设数列an满足：a1=1，an+1an-2n2（an+1-an）+1=0求数列an的通项公式.
解：由an+1an-2n2（an+1-an）+1=0得an+1=，可算得a2=3，a3=5，a4=7，猜想an=2n-1，并用数学归纳法予以证明（以下略）
六、待定系数法
例7.已知数列an满足an+1=2an+3×5n，a1=6，求数列an的通项公式。
解：设an+1+x×5n+1=2（an+x×5n） ④
将an+1=2an+3×5n代入④式，得2an+3×5n+x×5n+1=2an+2x×5n，等式两边消去2an，得35n+x5n+1=2x5n，两边除以5n，得3+5x=2x，则x=-1，代入④式得an+1-5n+1=2（an-5n） ⑤
由a1-51=6-5=1≠0及⑤式得an-5n≠0，则=2，则数列{an-5n}是以a1-51=1为首项，以2为公比的等比数列，则an-5n=2n-1，故an=2n-1+5n。
评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=2an+3×5n转化为an-1-5n+1=2（an-5n），从而可知数列{an-5n}是等比数列，进而求出数列{an-5n}的通项公式，最后再求出数列{an}的通项公式。
七、特征根法
形如递推公式为an+2=pan+1+qan（其中p，q均为常数）。对于由递推公式an+2=pan+1+qan，a1=α，a2=β，给出的数列an，方程x2-px-q=0，叫做数列an的特征方程。
若x1，x2是特征方程的两个根， 当x1≠x2时，数列an的通项为an=Axn-11+Bxn-12，其中A，B由a1=α，a2=β决定（即把a1，a2，x1，x2和n=1，2，代入an=Axn-11+Bxn-12，得到关于A、B的方程组）；
当x1=x2时，数列an的通项为an=（A+Bn）xn-11，其中A，B由1=α，a2=β决定（即把a1，a2，x1，x2和n=1，2，代入an=（A+Bn）xn-11，得到关于A、B的方程组）。
例8.数列an：3an+2-5an+1+2an=0（n？叟0，n∈N），a1=a，a2=b求an
解：特征方程是3x2-5x+2=0，∵x1=1，x2= ，∴an=Axn-11+Bxn-12=A+B（）n-1。
又由a1=a，a2=b，于是a=A+Bb=A+B？圯A=3b-2aB=3（a-b）
故an=3b-2a+3（a-b）（）n-1
